ユークリッド の 互 除法 最大 公約 数。 ユークリッドの互除法と最大公約数

整数の性質|ユークリッドの互除法について

ユークリッド の 互 除法 最大 公約 数

問 次の分数を約分せよ。 ほとんどの方にとって分数の約分というのがなんであるかは説明の必要がなく、問題文の意味はすぐ共有できるのです。 しかし、実際に約分をしようとすると簡単にはいかない。 相当な大きさの数で割らないと無理そうだ…ということでかなり困難を強いられます。 2数の共通の約数 すなわち公約数 はどのように求められるのでしょうか。 実はこのような場合にはユークリッドの互除法という計算が有効です。 ユーグリッドの互除法を使うと、2数の最大公約数が次のように計算できます。 理由は後回しにして、まず方法を紹介します。 次の図は計算が終わったところの様子です。 計算は右から左へ進んでいます。 まず最初に15853を12533で割って、その余りを今度は割る数として12533の右に持っていきます。 あとはこれを繰り返すのです。 余りは0以上でステップを重ねるごとにどんどん小さくなりますから、いつかは0になります。 余りが0になったとき一番左にある数 83 が15853と12533の最大公約数 G. DやG. ともいう となっています。 ではなぜ上の手順でなぜ15853と12533の最大公約数が求められるのでしょうか。 タイルの敷き詰めなど図的な説明もありますが、次の集合の考えを使う説明もあります 初等整数論の教科書ではこちらが普通。 以下議論を繰り返すと以下のことがわかります。 「 12533と3320の最大公約数 は 3320と2573の最大公約数 と等しい」 「 3320と2573の最大公約数 は 2573と747の最大公約数 と等しい」 「 2573と747の最大公約数 は 3320と2573の最大公約数 と等しい」 「 747と332の最大公約数 は 332と83の最大公約数 と等しい」 結局、 「 15853と12533の最大公約数 は 332と83の最大公約数 と等しい」 ことがわかります。 以上のことから「 15853と12533の最大公約数 が83であること」がいえるのです。 約分問題を作る方法 ここからは問題の作り手になって考えましょう。 これで問題が大量生産できますね!うれしい! 4桁以下の素数は以下に一覧にしています。 必要があればご自由にお使いください。

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ユークリッドの互除法について62x

ユークリッド の 互 除法 最大 公約 数

「ユークリッドの互除法の計算回数」を考えるための準備 以下では、自然数 a と b の最大公約数を考えていきます。 さて、突然ですが、次のような数列を考えます。 少し複雑ですが、「ユークリッドの互除法」で行う計算に、番号をつけていくだけです。 つまり、こういうことですね。 次の式が一番初めの式です。 なので、いつかゼロになります。 つまり、次のようになる自然数 N が存在するということですね。 このような数列を準備して、次に進みましょう。 一番回数が伸びるケース ユークリッドの互除法の計算で、一番回数が伸びるケースを考えてみます。 上の数列で言うと、 N が大きくなるケース、ということですね。 上の数列の説明で書いた式をもう一度見てみます。 これをよく見ると、次に紹介するフィボナッチ数列とよく似ていることがわかります。 証明を始める前に、このことから何がわかるのかを考えてみます。 このとき、「最大18回の計算で最大公約数が求められる」ということが分かるんですね。 それでは、証明をしていきましょう。 2 kを2以上の自然数とする。 1 2 より、数学的帰納法から命題が成り立つことが示された。 (証明終) このことから、計算回数を知りたければ、フィボナッチ数列との比較をすればいいということがわかります。 しかし、「 bとフィボナッチ数列とを比較する」というのは、少し不便です。 もう少しわかりやすい表現ができないか考えてみましょう。 以上から、次のことが分かります。 a, bを自然数とし、小さい方の数の桁数を mとする。 例えば、「144と89の最大公約数」をユークリッドの互除法で求めるなら、89は2桁なので、10回以下の計算で求められるということですね。 実際に計算してみると、次のようになります。

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整数第2章第1節 4.余りとユークリッドの互除法

ユークリッド の 互 除法 最大 公約 数

問 次の分数を約分せよ。 ほとんどの方にとって分数の約分というのがなんであるかは説明の必要がなく、問題文の意味はすぐ共有できるのです。 しかし、実際に約分をしようとすると簡単にはいかない。 相当な大きさの数で割らないと無理そうだ…ということでかなり困難を強いられます。 2数の共通の約数 すなわち公約数 はどのように求められるのでしょうか。 実はこのような場合にはユークリッドの互除法という計算が有効です。 ユーグリッドの互除法を使うと、2数の最大公約数が次のように計算できます。 理由は後回しにして、まず方法を紹介します。 次の図は計算が終わったところの様子です。 計算は右から左へ進んでいます。 まず最初に15853を12533で割って、その余りを今度は割る数として12533の右に持っていきます。 あとはこれを繰り返すのです。 余りは0以上でステップを重ねるごとにどんどん小さくなりますから、いつかは0になります。 余りが0になったとき一番左にある数 83 が15853と12533の最大公約数 G. DやG. ともいう となっています。 ではなぜ上の手順でなぜ15853と12533の最大公約数が求められるのでしょうか。 タイルの敷き詰めなど図的な説明もありますが、次の集合の考えを使う説明もあります 初等整数論の教科書ではこちらが普通。 以下議論を繰り返すと以下のことがわかります。 「 12533と3320の最大公約数 は 3320と2573の最大公約数 と等しい」 「 3320と2573の最大公約数 は 2573と747の最大公約数 と等しい」 「 2573と747の最大公約数 は 3320と2573の最大公約数 と等しい」 「 747と332の最大公約数 は 332と83の最大公約数 と等しい」 結局、 「 15853と12533の最大公約数 は 332と83の最大公約数 と等しい」 ことがわかります。 以上のことから「 15853と12533の最大公約数 が83であること」がいえるのです。 約分問題を作る方法 ここからは問題の作り手になって考えましょう。 これで問題が大量生産できますね!うれしい! 4桁以下の素数は以下に一覧にしています。 必要があればご自由にお使いください。

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